`Answer:`

\(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+ax}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(1\right)\)

Theo đề ra, có: \(\frac{xy}{ay+bx}=\frac{yz}{bz+cy}=\frac{zx}{cx+az}\)

\(\Rightarrow\frac{xyz}{ayz+bxz}=\frac{xyz}{bxz+cxy}=\frac{xyz}{cxy+ayz}\)

\(\Rightarrow ayz+bxz=bxz+cxy=cxy+ayz\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz+bxz=bxz+cxy\\ayz+bxz=cxy+ayz\\bxz+cxy=cxy+ayz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}ayz=cxy\\bxz=cxy\\bxz=ayz\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}az=cx\\bz=cy\\bx=ay\end{cases}}\left(2\right)\)

Thế (2) và (1): \(\frac{xy}{2ay}=\frac{yz}{2bz}=\frac{xz}{2cx}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}\left(3\right)\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{4a^2}=\frac{y^2}{4b^2}=\frac{z^2}{4c^2}=\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}=\frac{x^2+y^2+z^2}{4a^2+4b^2+4c^2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{1}{4}\)

Thế (3) vào (2): \(\frac{x}{2a}=\frac{y}{2b}=\frac{z}{2c}=\frac{1}{4}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{a}{2}\\y=\frac{b}{2}\\z=\frac{c}{2}\end{cases}}\)

Ta có

x²-yz=a

y²-zx=b

z²-xy=c

=>x³-xyz=ax

    y³-xyz=by

    z³-xyz=cz

=> x³+y³+z³-3xyz=ax+by+cz

Lại có

x³+y³+z³-3xyz

=(x+y)³-3x²y-3xy²+z³-3xyz

=[(x+y)³+z³]-3xy(x+y+z)

Áp dụng hằng đẳng thức x³+y³=(x+y)(x²-xy+y²) ta được:

=(x+y+z)[(x+y)²-z(x+y)+z²]-3xy(x+y+z)

=(x+y+z)(x²+2xy+y²-xz-yz+z²-3xy)

=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)

( Hình như phải Chứng minh ax+by+cz chia hết cho x+y+z chứ nhỉ, nếu ko phải thì cho mik srr nhé, nếu đúng như mình nói thì bạn làm như trên nha)

ak mình nhầm tẹo srr nha, đến chỗ

(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)

Vì x²-yz=a, y²-zx=b, z²- xy=c

=>x²+y²+z²-xy-yz-zx=a+b+c

=>ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)

=> DPCM

srr nhiều

SORY I'M I GRADE 6

????????

mày hỏi vả bài kiểm tra à thằng điên 

Đặt \(\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}=k\)

\(\Rightarrow\begin{cases}a=\frac{x^2-yz}{k}\\b=\frac{y^2-zx}{k}\\c=\frac{z^2-xy}{k}\end{cases}\)

Ta có:

\(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{\left(\frac{x^2-yz}{k}\right)^2-\frac{y^2-zx}{k}.\frac{z^2-xy}{k}}{x}=\frac{\frac{x^4-2x^2yz+\left(yz\right)^2}{k^2}-\frac{\left(y^2-zx\right).\left(z^2-xy\right)}{k^2}}{x}\)

\(=\frac{\frac{\left(x^4-2x^2yz+y^2z^2\right)-\left(y^2z^2-z^3x-xy^3+x^2zy\right)}{k^2}}{x}\)

\(=\frac{\frac{x^4-2x^2yz+y^2z^2-y^2z^2+z^3x+xy^3-x^2zy}{k^2}}{x}=\frac{x^4++z^3x+xy^3-3x^2yz}{k^2}.\frac{1}{x}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)

Tương tự thay a;b;c vào \(\frac{b^2-ca}{y};\frac{c^2-ab}{z}\) ta cũng được \(\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}=\frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{k^2}\)

Vậy \(\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}\left(đpcm\right)\)

a) Để A có nghĩa, mẫu số của biểu thức phải khác 0. Vì vậy, ta cần giải phương trình: x^2y - xy^2 + y^2z - yz^2 + z^2x - zx^2 ≠ 0 b) Để tính giá trị của A khi x = -1/2, y = 5/2 và z = 8, ta thay các giá trị này vào biểu thức và tính toán: A = (-1/2)^3(5/2) - (-1/2)(5/2)^3 + (5/2)^3(8) - (5/2)(8)^3 + (8)^3(-1/2) - (8)(-1/2)^2 / (-1/2)^2(5/2) - (-1/2)(5/2)^2 + (5/2)^2(8) - (5/2)(8)^2 + (8)^2(-1/2) - (8)(-1/2)^2 Sau khi tính toán, ta sẽ có giá trị của A. Lưu ý: Để tính toán đúng, hãy chắc chắn rằng bạn đã sử dụng các giá trị x, y, z đúng và thực hiện các phép tính đúng theo thứ tự ưu tiên.

Từ giả thiết 
x^2 - yz = a 
y^2 - zx = b 
z^2 - xy = c 
ta suy ra 
x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c # 0 (vì x,y,z không đồng thời bằng nhau); 
và 
x^3 - xyz = ax 
y^3 - xyz = by 
z^3 - xyz = cz. 
Cộng các đẳng thức theo vế, ta được 
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = ax + by + cz. 
Sử dụng hằng đẳng thức x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) và x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx = a + b + c thì đẳng thức trên được viết lại 
(x + y + z)(a + b + c) = ax + by + cz. 
Suy ra ax + by + cz chia hết cho a + b + c. 

bài này dùng chia hết thôi 

Tương tự, ta được:

\(\left(2-y\right)\left(2-z\right)>=\dfrac{\left(x+1\right)^2}{4}\)

và \(\left(2-z\right)\left(2-x\right)>=\left(\dfrac{y+1}{2}\right)^2\)

=>8(2-x)(2-y)(2-z)>=(x+1)(y+1)(z+1)

(x+yz)(y+zx)<=(x+y+yz+xz)^2/4=(x+y)^2*(z+1)^2/4<=(x^2+y^2)(z+1)^2/4

Tương tự, ta cũng co:

\(\left(y+xz\right)\left(z+y\right)< =\dfrac{\left(y^2+z^2\right)\left(x+1\right)^2}{2}\)

và \(\left(z+xy\right)\left(x+yz\right)< =\dfrac{\left(z^2+x^2\right)\left(y+1\right)^2}{2}\)

Do đó, ta được:

\(\left(x+yz\right)\left(y+zx\right)\left(z+xy\right)< =\left(x+1\right)\left(y+1\right)\left(z+1\right)\)

=>ĐPCM